Cheatsheet

Formulas

Во многих задачах вещественного анализа — вычисление интегралов вида ∫₋∞^∞ dx/(1+x²), решение дифференциальных уравнений, теория потенциала — ответ удивительно прост, но получить его «в лоб» трудно. Оказывается, все эти задачи прозрачно решаются, если расширить числовую прямую до комплексной плос...

Комплексное число z = x + iy отождествляется с точкой (x, y) плоскости ℝ². Здесь x = Re z — вещественная часть, y = Im z — мнимая часть, i — мнимая единица (i² = −1).

Модуль: |z| = √(x² + y²) — расстояние от начала координат. Аргумент: arg z = arctg(y/x) — угол с положительной полуосью (определён с точностью до 2πk). Сопряжённое число: z̄ = x − iy. Важно: z·z̄ = |z|².

Функция f: ℂ → ℂ — это отображение плоскости в плоскость: f(z) = u(x,y) + iv(x,y), где u и v — вещественнозначные функции двух вещественных переменных. Например, f(z) = z² = (x+iy)² = x²−y² + 2ixy, значит u = x²−y², v = 2xy.

Многие задачи математической физики ставятся в сложных областях (щели, крылья, зазубренные поверхности). Метод конформных отображений позволяет переходить к простым областям (круг, полуплоскость), решать задачу там, а затем вернуться обратно. Это работает, потому что конформные отображения сохран...

Голоморфная функция f с f'(z₀) ≠ 0 является конформной в точке z₀: она сохраняет углы между кривыми и их ориентацию.

Доказательство. Пусть γ₁, γ₂ — кривые через z₀, γ₁'(0) = v₁, γ₂'(0) = v₂. Образы: (f∘γᵢ)'(0) = f'(z₀)·vᵢ. Умножение на f'(z₀) ≠ 0 поворачивает оба вектора на один угол arg f'(z₀) → угол между ними сохраняется. Масштаб меняется в |f'(z₀)| раз — одинаково для всех направлений.

Это биекция расширенной плоскости ℂ∪{∞} на себя (отображение Римановой сферы). Каждое ДЛП — композиция сдвигов, поворотов, масштабирований и инверсии z ↦ 1/z.

Вещественная дифференцируемость — «локальное» свойство. Голоморфность, напротив, накладывает чрезвычайно жёсткие глобальные ограничения: зная функцию на маленьком отрезке, можно восстановить её всюду; ограниченная целая функция обязана быть константой. Эти теоремы объясняют, почему комплексные чи...

Теорема (Лиувилль, 1847): Любая голоморфная и ограниченная на всём ℂ функция является константой.

Доказательство через неравенство Коши: f'(z) = (1/2πi) ∮_{|ζ-z|=R} f(ζ)/(ζ-z)² dζ. Оценка: |f'(z)| ≤ M/R → 0 при R → ∞ (M = sup|f|). Значит f' ≡ 0, откуда f = const.

Это фундаментальный результат: функции eˢⁱⁿ⁽ᶻ⁾ на ℂ неограничены, потому что они «хотят» быть нетривиальными.

В вещественном анализе интеграл по замкнутому контуру консервативного поля равен нулю. В комплексном анализе это же свойство — для голоморфных функций — порождает нечто намного более мощное: из значений функции на контуре можно точно восстановить значения во всех внутренних точках. Это интегральн...

Комплексный интеграл раскладывается: ∫_γ (u+iv)(dx+idy) = ∫_γ (u dx − v dy) + i∫_γ (v dx + u dy) — два вещественных криволинейных интеграла.

Теорема (Коши, 1825): Если f голоморфна в просто связной области D и γ — замкнутый путь в D:

Физический смысл: голоморфное «поле» f(z) — «потенциальное» (безвихревое). Его «работа» по любому замкнутому контуру равна нулю. Это аналог ротора равного нулю.

Интегральная формула Коши позволяет вычислять производные всех порядков. Из этого немедленно следует, что голоморфная функция раскладывается в сходящийся ряд Тейлора — и это равенство, а не только приближение. Голоморфность и аналитичность в комплексном случае — одно и то же понятие, в отличие от...

Теорема: Если f голоморфна в круге |z − z₀| < R, то для всех z в этом круге:

Радиус сходимости R = dist(z₀, ∂D) — расстояние до ближайшей особой точки. Не бывает «случайного» обрыва сходимости: ряд сходится ровно до ближайшей особенности.

В вещественном анализе C^∞ ≠ аналитичность: f(x) = e^{−1/x²} (при x ≠ 0), f(0) = 0 — бесконечно дифференцируема, но ряд Тейлора в нуле = 0 ≠ f.

Голоморфные функции обладают замечательным свойством: зная функцию в маленькой области, можно продолжить её на всё, куда только позволяет аналитичность. Это называется аналитическим продолжением — и оно единственно. Именно этот принцип позволяет «определить» ζ-функцию Римана за пределами полуплос...

Теорема: Если f и g голоморфны в связной области D и совпадают на множестве с предельной точкой в D, то f ≡ g в D.

Следствие (принцип аналитического продолжения): Если f голоморфна в D₁, g голоморфна в D₂, D₁ ∩ D₂ ≠ ∅ связно, и f = g на D₁ ∩ D₂, то g — единственное аналитическое продолжение f на D₂.

Физический смысл: Нет двух разных голоморфных функций, совпадающих даже на маленьком отрезке. «Голоморфный объект — это целое».

В окрестности точки, где функция не определена или не голоморфна, ряд Тейлора не применим — он требует голоморфности в круге. Ряд Лорана расширяет это, включая отрицательные степени: f(z) = ... + c₋₂/(z−z₀)² + c₋₁/(z−z₀) + c₀ + c₁(z−z₀) + ... Главная часть (с отрицательными степенями) описывает «...

Правильная часть: Σₙ₌₀^∞ cₙ(z−z₀)ⁿ — сходится в круге |z−z₀| < R. Главная часть: Σₙ₌₁^∞ c₋ₙ/(z−z₀)ⁿ — сходится вне круга |z−z₀| > r.

Устранимая особенность: Главная часть = 0 (все c₋ₙ = 0). f ограничена вблизи z₀. Можно доопределить f(z₀) = c₀ и продолжить до голоморфной. Пример: f(z) = sin(z)/z при z₀ = 0. sin(z)/z = 1 − z²/6 + z⁴/120 − ... (все степени ≥ 0).

Полюс порядка m: c₋ₘ ≠ 0, c₋ₙ = 0 при n > m. Тогда |f(z)| → ∞ при z → z₀. f(z) = (z−z₀)^{−m}·g(z), где g голоморфна и g(z₀) ≠ 0. Пример: 1/(z−z₀)^m — полюс порядка m.

Formulas

Многие вещественные интегралы — от ∫₋∞^∞ 1/(1+x²)dx до ∫₀^∞ sin(x)/x dx — трудно вычислить элементарными методами. Метод вычетов позволяет свести их к подсчёту нескольких чисел — вычетов в полюсах функции. Это один из самых практически мощных инструментов анализа.

Определение: Вычет f в изолированной особой точке z₀: Res_{z=z₀} f = c₋₁ — коэффициент при (z−z₀)⁻¹ в ряде Лорана.

Теорема о вычетах: ∮_γ f(z) dz = 2πi Σₖ Res_{z=zₖ} f, где суммирование по всем особым точкам zₖ внутри контура γ.

Если f = g/h, g(z₀) ≠ 0, h(z₀) = 0, h'(z₀) ≠ 0: Res_{z=z₀} f = g(z₀)/h'(z₀).

Задача «сколько нулей у данной функции в данной области» возникает везде: в теории управления (устойчивость — нули знаменателя в правой полуплоскости), в численных методах (сходимость итераций), в криптографии (периоды). Принцип аргумента и теорема Руше дают точные ответы.

Геометрическое объяснение: Интеграл = изменение arg f при обходе γ, делённое на 2π = индекс кривой f(γ) (число оборотов образа вокруг начала координат). Нуль вклад +1, полюс — вклад −1.

Символически: (1/2πi) ∮ d(ln f) = (1/2πi) ∮ (d|f|/|f| + i d(arg f)) → мнимая часть = Δ(arg f)/2π.

Теорема: Если f и g голоморфны в D̄, и |g(z)| < |f(z)| на γ = ∂D, то f и f+g имеют одинаковое число нулей в D.

Не все интегралы сводятся к тривиальным дробям. Интегралы вида ∫₀^∞ ln(x)·f(x)dx, ∫₀^∞ xᵃ·f(x)dx или суммы Σf(n) требуют специальных контуров и трюков. Два главных метода: «замочная скважина» (keyhole contour) для степенных интегралов и суммирование через вычеты котангенса.

Для ∫₀^∞ xᵃ f(x) dx (0 < a < 1) делаем разрез вдоль [0,+∞) и интегрируем f(z)·z^a по контуру «замочная скважина»: большой круг |z|=R → уходит, малый |z|=ε → уходит, остаются берега разреза. На верхнем берегу z = x (x > 0), на нижнем z = xe^{2πi} → z^a = x^a · e^{2πia}.

∮ = ∫₀^∞ x^a f(x)dx − e^{2πia}∫₀^∞ x^a f(x)dx = (1 − e^{2πia}) ∫₀^∞ x^a f(x) dx = 2πi Σ Res.

Ключевой приём: πcot(πz) имеет простые полюсы при z = n ∈ ℤ с вычетом 1. Тогда:

Решение многих задач математической физики — дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами — приводит к функциям, не выражаемым через многочлены, тригонометрические функции и экспоненту. Их называют специальными: гамма-функция, функции Бесселя, гипергеометрические функции. Комплексный а...

Аналитическое продолжение: Γ(s) продолжается на ℂ {0, −1, −2, ...} с простыми полюсами в s = 0, −1, −2, ... и вычетами Res_{s=−n} Γ = (−1)^n/n!

Функциональное уравнение: Γ(s+1) = s·Γ(s). Следовательно: Γ(n) = (n−1)! для натуральных n.

Возникает при разделении переменных уравнения Гельмгольца в полярных координатах. Решения — функции Бесселя первого рода Jν(z):

Теорема Римана гарантирует существование конформного отображения любой просто связной области на единичный круг. Но насколько «большим» может быть искажение? Теорема Бибербаха (гипотеза Бибербаха, доказана де Бранжем в 1985) даёт точный ответ через коэффициенты разложения. Это одна из самых знаме...

Класс S: Функции f, голоморфные и однолистные (инъективные) в единичном круге 𝔻, нормированные условиями f(0) = 0, f'(0) = 1.

Функция Кёбе: k(z) = z/(1−z)² = z + 2z² + 3z³ + ... (aₙ = n). Это «экстремальная» функция в классе S: образ 𝔻 — вся плоскость без луча (−∞, −1/4].

Теорема (1/4-теорема Кёбе): Образ f(𝔻) для f ∈ S содержит круг |w| < 1/4. Оценка точна: для k(z) образ = ℂ (−∞, −1/4].

Definitions

Многочлен P(z) степени n имеет ровно n нулей (с кратностями) и разлагается в произведение P(z) = c(z−z₁)···(z−zₙ). Можно ли аналогично «разложить» целую функцию с бесконечно многими нулями? Теорема Вейерштрасса даёт утвердительный ответ, но с поправкой: для сходимости бесконечного произведения ну...

Целая функция — голоморфная на всём ℂ. Примеры: многочлены, eᶻ, sin z, cos z.

Порядок роста: ρ = limsup_{r→∞} ln ln M(r) / ln r, где M(r) = max_{|z|=r} |f(z)|.

Теорема: Любая целая функция f с нулями {aₙ} (a₁, a₂, ..., кратности учтены, 0 < |a₁| ≤ |a₂| ≤ ...) и нулём порядка m в 0 представима:

Рациональная функция R(z) = P(z)/Q(z) разлагается в сумму простых дробей: R = Σ Aₖ/(z−zₖ)^mₖ + многочлен. Теорема Митта-Лефлера — аналог для мероморфных функций с бесконечно многими полюсами: можно «предписать» полюсы и их главные части и построить функцию с этими данными.

Теорема (Митта-Лефлер, 1877): Пусть {aₙ} — последовательность точек без предельной точки в ℂ (т.е. |aₙ| → ∞), и для каждого aₙ задана «главная часть» pₙ(1/(z−aₙ)) — многочлен от 1/(z−aₙ). Тогда существует мероморфная функция f с полюсами в {aₙ} и заданными главными частями:

где h(z) — произвольная целая функция, qₙ(z) — многочлены, обеспечивающие сходимость ряда.

Полюсы при z = n ∈ ℤ, главные части 1/(z−n) — полюсы первого порядка с вычетом 1.

Дифференциальные уравнения — бич математической физики. Преобразование Лапласа заменяет их алгебраическими: дифференцирование ↦ умножение на s. Решив алгебраическое уравнение и применив обратное преобразование (через вычеты!), получаем решение ДУ. Это прямое приложение ТФКП к прикладной математике.

где суммирование по всем полюсам F (в левой полуплоскости для устойчивых систем).

Преобразование Лапласа — это преобразование Фурье «с экспоненциальным весом»: F(σ+iω) = ℱ[e^{−σt}f(t)](ω). Полюсы F(s) соответствуют частотам системы; устойчивость ⟺ все полюсы в левой полуплоскости (Re s < 0).

Шаг 1. Применим преобразование Лапласа к уравнению. ℒ[δ(t)] = 1. (s²Y − s·0 − 0) + 2(sY − 0) + 5Y = 1 → Y(s)(s² + 2s + 5) = 1.