Cheatsheet
Вариационное исчисление — all topics on one page
Основы вариационного исчисления
Функционалы, первая вариация и уравнение Эйлера-Лагранжа
Что такое вариационное исчисление? → Что такое функционал? → Первая вариация и идея вывода уравнения ЭЛ → Полный разбор: задача о кратчайшем расстоянии → Задача о брахистохроне → Расширения уравнения ЭЛ → Применения
Definitions
- •Fᵧ = ∂F/∂y = 0 (F не зависит от y явно!)
- •F_{y'} = ∂F/∂p = p/√(1+p²) = y'/√(1+y'²)
Обычный математический анализ ищет экстремум функции от числа или вектора: найти x, минимизирующий f(x). Вариационное исчисление решает задачу другого уровня: найти функцию y(x), минимизирующую некоторую «функцию от функции» — функционал. Именно такие задачи возникают в физике («по какой траектор...
История дисциплины начинается с 1696 года, когда Иоганн Бернулли предложил задачу брахистохроны: найти форму горки, по которой шарик скатывается между двумя точками за минимальное время. Задача поразила современников: ответ — не прямая (кратчайшее расстояние), а циклоида. Это открытие дало толчок...
Функционал — отображение из пространства функций в ℝ: J: {y : [a,b] → ℝ} → ℝ.
Здесь F — заданная «лагранжева функция» трёх аргументов: F(x, y, p), где x — независимая переменная, y — значение функции, p = y' — производная. Функционал «суммирует» вклад F вдоль кривой.
Мотивация: когда экстремаль является минимумом? → Вторая вариация → Условие Лежандра → Уравнение Якоби и сопряжённые точки → Полный разбор: маятник (задача о сопряжённых точках) → Теорема Морса и топологические следствия → Метод Ритца: приближённое решение → Условия Вейерштрасса для сильного минимума → Особые экстремали → Применения
Definitions
- •P = F_{y'y'} (вторая производная F по y')
- •Q = F_{yy} − d/dx F_{yy'} (комбинированный член)
- •Управление ракетами: расчёт оптимальной траектории требует проверки всех условий второго порядка для гарантии минимальности
- •Аэродинамика: профилирование крыла как минимизация сопротивления — необходимо проверять условие Якоби, чтобы найденный профиль действительно был минимумом, а не седлом
- •Финансы: оптимальная стратегия потребления Мертона — экстремаль HJB-уравнения; условия второго порядка гарантируют максимальность полезности
- •Робототехника: планирование траектории манипулятора с минимизацией энергии — проверка условий второго порядка в точках сопряжения сегментов
Уравнение Эйлера-Лагранжа — это условие первого порядка, аналог «производная равна нулю». Как и в обычном анализе, критическая точка может быть минимумом, максимумом или седловой точкой. Для определения типа экстремаля нужны условия второго порядка. Это особенно важно в задачах оптимального управ...
Рассмотрим функционал J[y] = ∫F(x, y, y') dx и его второй производную по параметру ε при возмущении y* + εη:
Условие Лежандра (необходимое): для минимума необходимо P(x) = F_{y'y'}(x, y*(x), y*'(x)) ≥ 0 на всём отрезке [x₀, x₁].
Смысл: F должна быть «выпуклой по y'» вдоль экстремали. Если P(x) < 0 хотя бы в одной точке, экстремаль не является минимумом.
Классическая загадка Дидоны → Постановка изопериметрической задачи → Метод множителей Лагранжа для функционалов → Задача о катенарии (цепной линии) → Задача Дидоны: полуокружность → Общая постановка с несколькими ограничениями → Полный разбор: задача Эйлера о колонне → Принцип Лагранжа: общая формулировка → Условия второго порядка с ограничениями → Современные изопериметрические задачи
- •Спектральная оптимизация: какая форма мембраны имеет наименьшее основное собственное значение лапласиана при заданной площади? Ответ — круг (Faber-Krahn inequality)
- •Изопериметрические неравенства в высоких размерностях: в ℝⁿ объём шара V(r) даёт минимальную поверхность Σ при заданном объёме (теорема Брунна-Минковского)
- •Изопериметрия на многообразиях: на сфере геодезические шары минимизируют площадь границы (Леви, Громов)
- •Изопериметрия в теории графов (expansion): минимизация числа рёбер на границе подмножества вершин при заданном размере — основа теории случайных блужданий и спектральных методов
По преданию, финикийская царевна Дидона бежала в Северную Африку и попросила у местного вождя столько земли, «сколько можно охватить шкурой быка». Она разрезала шкуру на тонкие полосы и огородила ими участок — взяв прямую линию берега как одну сторону. Какую форму выбрала Дидона? Конечно, полуокр...
Классическая формулировка: среди всех замкнутых кривых заданной длины L найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.
Это функционал с ограничением-функционалом — аналог задачи условной оптимизации в конечномерном пространстве.
Теорема: для задачи min J[y] = ∫F(x,y,y')dx при J₂[y] = ∫G(x,y,y')dx = C экстремаль является экстремалью вспомогательного функционала:
Задача Больца и краевые условия
Обобщённые постановки вариационного исчисления и условия поперечности
Постановки с незакреплёнными концами → Три классические постановки → Условие поперечности → Многомерные задачи: функционалы от u(x,y) → Полный разбор: кратчайшее расстояние от точки до параболы → Применения задачи Больца → Численные методы
- •Управление ракетой: время полёта T переменно, конечное положение — точка цели (Майер). Топливо минимизируется (Лагранж).
- •Экономический рост: задача Рамсея — потребитель максимизирует ∫₀^∞ e^{-ρt} u(c(t)) dt при динамике капитала k̇ = f(k) − c. Бесконечный горизонт, терминальное условие на лимит k(t).
- •Робототехника: траектория манипулятора — минимизация энергии плюс штраф за конечную ориентацию.
- •Прямые методы: дискретизация состояния и управления, переход к нелинейному программированию (NLP). Решатели IPOPT, SNOPT, Knitro.
- •Метод стрельбы (shooting): интегрирование системы уравнений с подбором начальных условий через Ньютона.
- •Псевдоспектральные методы (Радо, Чебышёва): представление траектории полиномом высокого порядка, точность экспоненциальная при гладких решениях. Используется в GPOPS-II, DIDO.
В простейшей постановке вариационного исчисления оба конца кривой фиксированы: y(x₀) = y₀, y(x₁) = y₁. Но во многих реальных задачах это не так. Например, нужно найти кратчайший путь от точки A до некоторой кривой C (конечная точка не фиксирована, а лишь должна лежать на C). Или функционал содерж...
Задача Лагранжа: min J = ∫F dx при дифференциальных ограничениях G(x,y,y') = 0. Движение вдоль кривой с дополнительными связями.
Задача Майера: min J = g(x₀, y(x₀), x₁, y(x₁)) — минимизируем только граничную функцию, без интеграла. Это задача с нефиксированными концами.
Задача Больца (общая форма): min J = ∫F dx + g(x₀, y₀, x₁, y₁) при дополнительных ограничениях. Объединяет Лагранжа и Майера.
Ограниченные системы в физике и механике → Голономные связи → Неголономные связи → Теорема Каратеодори о полных вариационных задачах → Вариационное неравенство → Полный разбор: маятник через метод Лагранжа → Связи Лагранжа vs неголономные связи → Принцип Гамильтона-Понтрягина → Численные методы → Применения
- •Голономные: φ(x, y) = 0 — связь только на координатах. Можно явно разрешить и подставить, понизив размерность.
- •Неголономные: φ(x, y, y') = 0 — связь включает производные и в общем случае не интегрируется. Классический пример: качение шара без проскальзывания (5 голономных + 2 неголономных связи). Эти связи ...
- •Прямое преобразование в NLP: дискретизация состояния и управления, добавление ограничений как нелинейных условий, решение через IPOPT, SNOPT
- •Метод проекции: после каждого шага градиентного спуска проектировать решение на множество допустимых функций
- •Augmented Lagrangian: штрафная функция плюс множители — устойчивое решение задач с активными связями
- •Робототехника: движение манипулятора с механическими связями (шарниры, контакты)
- •Транспортное планирование: учёт ограничений на ускорение, рывок (jerk), угол поворота
- •Аэрокосмическая отрасль: оптимизация траектории при ограничениях на тягу, нагрев, перегрузки
- •Биомеханика: моделирование походки человека как оптимизация энергии при анатомических ограничениях суставов
- •Управление химическими процессами: ограничения на температуру, давление, концентрацию реагентов — стандартная постановка вариационной задачи с активными связями
В реальном мире движение тел почти всегда ограничено: маятник движется по дуге окружности, автомобиль катится без проскальзывания, жидкость течёт по трубе. Такие ограничения называются связями (constraints). Вариационное исчисление с ограничениями — это теория, позволяющая системно работать с так...
Голономная связь задаёт условие вида φ(x, y(x)) = 0 — это функциональное уравнение на кривые. Называется так от греческого «holos» (целый) — ограничение полностью определяет конфигурацию.
Пример: математический маятник в декартовых координатах. Частица движется в ℝ², но прикреплена к точке нитью длиной l. Голономная связь: x² + y² = l². Система имеет 2 − 1 = 1 степень свободы. В обобщённой координате θ (угол): x = l sin θ, y = −l cos θ, связь исчезает!
Метод решения: либо явная параметризация (как с маятником), либо метод множителей Лагранжа-функций.
Почему принцип наименьшего действия так важен? → Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) → Обобщённые координаты: элегантность метода → Гамильтонов формализм → Скобки Пуассона и законы сохранения → Полный разбор: колебания молекулы CO₂ → Расширение на теорию поля → Принцип наименьшего действия в физике → Симметрии и интегрируемость → Применения в инженерии
- •Инвариантность под сдвигом t → t+ε: сохраняется H (энергия)
- •Инвариантность под трансляцией q → q+ε: сохраняется p (импульс)
- •Инвариантность под поворотом: сохраняется L = q × p (момент импульса)
В XVII веке Ньютон описал механику через силы: F = ma. Это работало, но требовало явного учёта всех сил, в том числе реакций связей. Лагранж в XVIII веке показал: всю механику можно выразить через один вариационный принцип — принцип наименьшего действия. Это радикально упрощает вычисления (реакци...
Действие: функционал S[q] = ∫_{t₀}^{t₁} L(t, q, q̇) dt, где L = T − U — лагранжиан (кинетическая − потенциальная энергия), q = (q₁,...,qₙ) — обобщённые координаты.
Принцип Гамильтона: физическая траектория между q(t₀) и q(t₁) — экстремаль функционала S.
Главное преимущество: q могут быть любыми координатами, удобными для описания системы. Уравнения Лагранжа инвариантны относительно замены координат — это следствие вариационной природы принципа.
Гамильтон-Якоби и геометрическая оптика
Уравнение Гамильтона-Якоби, оптимальный транспорт и геометрические приложения
Связь оптики и механики → Преобразование Лежандра и гамильтониан → Функция действия Якоби → Уравнение Гамильтона-Якоби → Аналогия механики и геометрической оптики → Метод характеристик → Полный разбор: маятник через ГЯ → Динамическое программирование как дискретный ГЯ → Метод характеристик → Вязкостные решения
- •Волновые фронты = поверхности равной фазы
- •Лучи = экстремали (градиенты фазы)
- •Показатель преломления n = «замедление» (аналог потенциала)
В 1820-х годах Уильям Гамильтон заметил поразительную аналогию: математика геометрической оптики (путь луча света) формально совпадает с математикой классической механики. Это привело его к созданию единого формализма — уравнения Гамильтона-Якоби. Позже, в 1926 году, Шрёдингер показал, что кванто...
Гамильтониан: H(x, y, p) = p·y' − L(x, y, y'), где y' выражается через p из p = ∂L/∂y'.
Пример: L = (1/2)y'² − U(y) (одномерная механика). p = y'. H = p·y' − (1/2)y'² + U = (1/2)p² + U. Канонические уравнения: ẏ = p, ṗ = −U'(y). Это уравнение Ньютона!
Рассмотрим семейство экстремалей, исходящих из фиксированной точки A = (x₀, y₀). Для каждой точки B = (x, y) определим функцию действия: S(x, y) = значение функционала J вдоль экстремали от A до B.
Задача о переноске земли → Задача Монжа: строгая формулировка → Формулировка Канторовича → Расстояние Вассерштейна → Теорема Брейера-МакКана → Применения в машинном обучении → Полный разбор: транспортный план в ℝ
- •Задача Канторовича — линейная по γ (бесконечномерное ЛП!)
- •Всегда имеет решение (при разумных условиях на c и μ, ν)
- •Задача Монжа — частный случай: γ сосредоточена на графике T
В 1781 году французский математик Гаспар Монж поставил вопрос: как переместить кучу земли (плотность μ) в яму (плотность ν) с минимальными затратами труда? Задача оказалась невероятно сложной и оставалась нерешённой 160 лет. В 1942 году советский математик Леонид Канторович решил расслабленную ве...
Даны две меры μ и ν на пространстве X (например, вероятностные распределения на ℝⁿ) и функция стоимости c(x, y) ≥ 0 (стоимость перемещения «единицы материала» из x в y).
Задача Монжа: найти отображение T: X → X («план переноски»), транспортирующее μ в ν (то есть T_#μ = ν — «образ» μ под T равен ν), минимизирующее суммарную стоимость:
Проблема формулировки Монжа: отображение T — это «детерминированный» план, но иногда оптимально «расщепить» единицу материала. Например, часть земли с места x₁ идёт в яму y₁, часть — в y₂. Монжевский план этого не допускает.
Геометрия и вариационное исчисление: неразрывная связь → Геодезические: определение и уравнения → Геометрический смысл: параллельный перенос → Сопряжённые точки и глобальная минимальность → Минимальные поверхности → Полный разбор: катеноид → Применения → Геодезические в общей теории относительности → Минимальные поверхности и пузыри → Задача Плато
Formulas
- •Плоскость: H = 0 тривиально
- •Катеноид: поверхность вращения y = a·cosh(x/a). Единственная минимальная поверхность вращения (кроме плоскости)
- •Геликоид: x = r·cos(az), y = r·sin(az), z = z. «Закрученный» катеноид
- •Mean curvature flow: эволюция поверхности по нормали со скоростью H — естественный градиентный поток для функционала площади
- •Метод конечных элементов на поверхностях: дискретизация поверхности треугольной сеткой и численное решение PDE
- •Level-set методы: представление поверхности как нулевого уровня функции — устойчиво к топологическим изменениям
- •Архитектура: тентовые конструкции (стадионы, выставочные комплексы — крыша Олимпийского стадиона в Мюнхене Фрая Отто) рассчитываются как минимальные поверхности
- •Материаловедение: структура зёрен в металлах, фазовых границ
- •Биофизика: форма биологических мембран, везикул, клеточных стенок
- •Computer graphics: создание гладких поверхностей при заданных контурах для 3D-моделирования
- •Tunnel engineering: оптимизация формы тоннелей для минимизации напряжений в породе
Дифференциальная геометрия и вариационное исчисление тесно переплетены: ключевые геометрические объекты определяются как экстремали функционалов. Геодезические — кратчайшие кривые — суть экстремали функционала длины. Минимальные поверхности — экстремали функционала площади. Эта связь глубока: пон...
Геодезическая на поверхности — кривая, минимизирующая длину между двумя точками (локально). Формально: экстремаль функционала J[γ] = ∫|γ'(t)| dt.
где s — длина дуги, Γᵏᵢⱼ — символы Кристоффеля — вычисляются из метрического тензора gᵢⱼ:
На плоскости: gᵢⱼ = δᵢⱼ → Γᵏᵢⱼ = 0 → уравнение: d²xᵏ/ds² = 0 → xᵏ = aᵏs + bᵏ (прямые!).
Современные приложения вариационного исчисления
Оптимизация формы, механика сплошных сред и теорема Нётер
От формулы к форме: практическая задача → Постановка задачи оптимизации формы → Метод граничных вариаций (Адамара-Хадамара) → Топологическая оптимизация: SIMP метод → Аэродинамическая оптимизация: сопряжённый метод → Полный разбор: топологическая оптимизация балки → Теория оптимального управления → Bang-bang управления → Численные методы оптимального управления → Применения
- •J(Ω) = ∫_Ω u dx (среднее смещение под нагрузкой)
- •J(Ω) = ∫_{∂Ω} q² dS (тепловой поток через поверхность)
- •J(Ω) = max_{x∈Ω} σ(x) (максимальное напряжение)
- •J(Ω) = |Ω| (объём материала) при ограничениях прочности
- •Indirect methods: вывести необходимые условия (принцип максимума), решать краевую задачу для системы ОДУ
- •Direct methods: дискретизация и переход к NLP — IPOPT, SNOPT
- •Pseudospectral methods: представление траектории полиномом высокого порядка (GPOPS-II, DIDO)
- •Differential dynamic programming (DDP): итеративный метод второго порядка, основа современных алгоритмов RL и трajектория-планирования
- •Аэрокосмическая отрасль: оптимальные траектории запусков ракет (минимизация топлива при достижении заданной орбиты), межпланетные миссии (Voyager, New Horizons, Cassini)
- •Робототехника: планирование движения манипуляторов и беспилотников
- •Финансы: оптимальное потребление и инвестирование (модель Мертона)
- •Энергетика: оптимальное управление электростанциями в реальном времени
- •Медицина: оптимизация дозы лекарств, расписание химиотерапии
- •Эпидемиология: оптимальные стратегии вакцинации и социального дистанцирования
Инженер проектирует несущую балку самолётного крыла. Требования: выдержать заданную нагрузку, весить как можно меньше. Где убрать материал? Форма крыла оптимизируется именно как решение вариационной задачи — минимизировать объём (массу) при ограничениях прочности. Это и есть оптимизация формы. Ка...
Дана область Ω ⊂ ℝⁿ — «тело» — с границей Γ = ∂Ω. На Ω решается уравнение в частных производных (деформация, течение, тепло). Задача: найти форму Ω, минимизирующую функционал J(Ω).
Сложность: область Ω — бесконечномерный объект. Как взять «производную» по форме?
Семейство областей: Ω_t, деформированных вдоль вектора скорости V(x) на границе:
Вариационные принципы как язык механики → Принцип виртуальных перемещений → Принцип минимума потенциальной энергии → МКЭ: метод Ритца с конечными элементами → Смешанные принципы → Полный разбор: изгиб балки Эйлера-Бернулли → Нелинейная упругость и гиперупругость → Принцип минимума потенциальной энергии → Уравнения Эйлера для жидкости и Навье-Стокса → Метод конечных элементов (МКЭ)
- •σᵢⱼ — тензор напряжений (6 независимых компонент для симметричного σ)
- •δεᵢⱼ = (δuᵢ,ⱼ + δuⱼ,ᵢ)/2 — виртуальная деформация (симметризованный градиент)
- •fᵢ — компоненты объёмных сил (например, гравитация, fi = ρgᵢ)
- •tᵢ = σᵢⱼnⱼ — компоненты поверхностных нагрузок
- •Гражданское строительство: расчёт мостов, небоскрёбов, плотин (Бурдж-Халифа, мост Акаси-Кайкё)
- •Авиация: расчёт несущих конструкций самолёта (Boeing 787, Airbus A350)
- •Автомобилестроение: краш-тесты численным моделированием
- •Биомеханика: моделирование костей, имплантатов, кровотока
- •Геофизика: моделирование тектоники, землетрясений
Механика сплошных сред — теория деформируемых тел: балок, пластин, жидкостей, резин. Её уравнения (равновесия, движения) выводятся из вариационных принципов. Это не просто математическое удобство: вариационная формулировка напрямую порождает метод конечных элементов — главный инструмент инженерны...
Постановка: тело Ω в равновесии под действием объёмных сил f и поверхностных нагрузок t на части ∂Ω_t.
Принцип виртуальных перемещений: тело в равновесии тогда и только тогда, когда суммарная виртуальная работа равна нулю для любого допустимого виртуального перемещения δu:
Это «слабая» формулировка уравнений равновесия. Из него следует «сильная» через интегрирование по частям: ∂ⱼσᵢⱼ + fᵢ = 0 в Ω, σᵢⱼnⱼ = tᵢ на ∂Ω_t.
«Красивейшая теорема в математике» → Симметрии и инвариантность действия → Формулировка теоремы Нётер → Примеры законов сохранения → Теорема Нётер в теории поля → Нарушение симметрии и теоремы Голдстоуна/Хиггса → Полный разбор: центральные поля и законы Кеплера
В 1915 году Эмми Нётер доказала теорему, которую физики называют одним из величайших достижений математической физики XX века. Теорема утверждает: каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует закон сохранения. Пространство однородно? → сохраняется импульс. Время однородно? → сохр...
Симметрия действия S[y] = ∫L(x,y,y') dx — это однопараметрическая группа преобразований (x,y) → (x̄(x,y,ε), ȳ(x,y,ε)) при ε → 0, не меняющая значение S.
Инфинитезимальное преобразование: x̄ = x + εξ(x,y) + O(ε²), ȳ = y + εη(x,y) + O(ε²).
Теорема Нётер (1915): если действие S[y] = ∫L(x,y,y')dx инвариантно относительно однопараметрической группы с генератором (ξ, η), то существует ток Нётер — сохраняющаяся величина: