Cheatsheet

Definitions

Возьмём нить, изогнутую в пространстве. Как передать её форму математически? Обычная параметризация r(t) = (x(t), y(t), z(t)) зависит от произвольного выбора параметра t — неудобно. Нам нужны инварианты: числа, описывающие форму, не зависящие от выбора координат и параметризации.

Для кривой таких инвариантов два: кривизна (как быстро поворачивает касательная) и кручение (как плоскость касательной поворачивается вокруг кривой). Вместе они полностью определяют форму кривой — и именно через них строится репер Френе, подвижный ортонормированный базис, «скользящий» вдоль кривой.

Перейдём к натуральной параметризации — по длине дуги s. Определение: s = ∫₀ᵗ |r'(τ)| dτ, откуда ds/dt = |r'(t)|. В натуральной параметризации скорость постоянна: |r'(s)| = 1. Это «скорость единичной длины» — движение вдоль кривой с постоянной скоростью 1 (метр в метр).

Почему важна натуральная параметризация? Потому что производные по s имеют геометрический смысл: r'(s) — единичная касательная, r''(s) — показывает, как быстро кривая «поворачивает».

Definitions

Длина кривой — первое и самое фундаментальное метрическое понятие. Для кривой r(t) = (x(t), y(t), z(t)) на [a, b]:

Инвариантность: длина не зависит от параметризации. Если заменить t = φ(u) (φ' > 0): L сохраняется — это и есть геометрический смысл длины.

Вариационный принцип: Среди всех кривых в пространстве между двумя точками кратчайшая — прямолинейный отрезок. Это минимизационная задача для функционала L[r] = ∫|r'| dt. На сфере кратчайшая — дуга большого круга. На поверхности — геодезическая.

Числовой пример: Спираль r(t) = (cos t, sin t, t) на t ∈ [0, 2π]: r' = (−sin t, cos t, 1). |r'| = √(sin²t + cos²t + 1) = √2. Длина: L = 2π√2 ≈ 8.886. Для сравнения: окружность r = 1 даёт L = 2π ≈ 6.28. Спираль длиннее, хотя проецируется в ту же окружность.

Форму плоской кривой (без учёта положения в пространстве) полностью определяет зависимость кривизны κ от длины дуги s: натуральное уравнение κ = κ(s). Если задать это уравнение, задаётся и форма кривой (до движения и отражения).

Это мощная идея: вместо координат (x(s), y(s)) — компактное функциональное условие κ(s). Восстановление кривой: угол касательной θ(s) = ∫₀ˢ κ(t) dt, затем x(s) = ∫cos θ ds, y(s) = ∫sin θ ds.

Координаты через интегралы Френеля: x(s) = ∫₀ˢ cos(t²/2) dt, y(s) = ∫₀ˢ sin(t²/2) dt.

Геометрия: При s → 0: кривая → прямая (κ = 0). При s → ∞: кривая спиралью закручивается к конечной точке — «фокусу Корню».

Definitions

Представьте плоский лист бумаги. Его можно свернуть в цилиндр или конус. Для существа, живущего на листе (муравья), плоский лист и цилиндр неразличимы — расстояния, углы, площади сохраняются. Это и есть внутренняя геометрия — та, которую «видит» обитатель поверхности.

Первая фундаментальная форма кодирует именно внутреннюю геометрию: как измерять расстояния и площади, живя на поверхности, не выходя во внешнее 3D-пространство.

Поверхность задаётся гладким отображением r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) из области параметров (u, v) в ℝ³.

Касательные векторы: r_u = ∂r/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u), r_v = ∂r/∂v. В каждой точке они порождают касательную плоскость TₚM.

Definitions

Первая фундаментальная форма описывает «внутреннюю жизнь» поверхности — расстояния для жителя, живущего на ней. Вторая фундаментальная форма описывает, как поверхность изгибается в объемлющем трёхмерном пространстве — что видит внешний наблюдатель.

Интуиция: цилиндр и плоскость имеют одинаковую «внутреннюю» геометрию (их можно изометрически отобразить друг на друга, «разворачивая» цилиндр). Но они выглядят по-разному снаружи: цилиндр изогнут в ℝ³, плоскость нет. Вторая форма фиксирует это «внешнее» изгибание.

Здесь r_{uu} = ∂²r/∂u², n — единичная нормаль к поверхности. Смысл L: «как быстро нормаль отклоняется при движении вдоль u-направления».

Теорема Меньера: нормальная кривизна зависит только от направления (u', v'), но не от конкретной кривой в этом направлении.

Definitions

В 1827 году Гаусс опубликовал результат, который сам назвал «Theorema Egregium» — «Замечательная теорема». Звучит так: гауссова кривизна K является внутренним свойством поверхности.

Что это значит? K вычисляется только через коэффициенты первой формы E, F, G и их производные — без обращения к объемлющему пространству. Хотя формула K = (LN − M²)/(EG − F²) использует вторую форму (которая «внешняя»), Гаусс показал, что подставив явные выражения через E, F, G, получим тот же от...

Следствие: если две поверхности изометричны (можно отождествить сохраняя расстояния), они имеют одинаковую K в соответствующих точках. Плоскость K = 0 ↔ цилиндр K = 0: изометричны ✓. Плоскость K = 0 ↔ сфера K = 1/R²: не изометричны → нет карты без искажений.

Формула Гаусса (Брио–Буке–Гаусса): K выражается через символы Кристоффеля, которые выражаются через E, F, G.

Поверхность в ℝ³ — интуитивный объект: мы «видим» её снаружи. Но многие естественные геометрические объекты не вложены в привычное пространство. Фазовое пространство механической системы с n степенями свободы — 2n-мерное многообразие. Пространство квантовых состояний — бесконечномерное гильбертов...

Гладкое многообразие — способ работать с такими пространствами без ссылки на внешнее вложение.

Определение: Хаусдорфово топологическое пространство M, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную (топологически равнозначную) открытому шару в ℝⁿ, называется n-мерным топологическим многообразием.

Проще: многообразие «локально плоское» — вблизи каждой точки оно выглядит как кусок ℝⁿ. Поверхность «плоская» как ℝ², пространство — как ℝ³, хотя глобально может быть устроена сложнее.

Definitions

На поверхности в ℝ³ касательный вектор — буквально «стрелка, лежащая на поверхности». Но как определить касательный вектор к абстрактному многообразию M, не вложенному в ℝⁿ?

Элегантное решение: касательный вектор в точке p — это эквивалентный класс гладких кривых γ: (−ε, ε) → M с γ(0) = p (с одинаковой скоростью в локальных координатах). Или, эквивалентно, дифференциальный оператор v(f) = (f ∘ γ)'(0) — действие на функции (производная вдоль γ).

Второе определение работает всегда и показывает: «вектор» = «способ дифференцировать функции в точке».

TₚM — векторное пространство всех касательных векторов к M в точке p. Размерность dim(TₚM) = n.

Definitions

Гладкое многообразие M само по себе не имеет понятий длины и угла — это «аморфная» топология. Риманова метрика g — дополнительная структура, задающая скалярное произведение в каждом касательном пространстве.

Формально: g — симметричный, положительно определённый (0,2)-тензор на M. В каждой точке p: gₚ: TₚM × TₚM → ℝ — скалярное произведение. В координатах: g = gᵢⱼ dxⁱ ⊗ dxʲ, симметрия gᵢⱼ = gⱼᵢ, g > 0.

Расстояние: d(p, q) = inf_{γ: p→q} L(γ) — наименьшее расстояние вдоль кривых.

Первая фундаментальная форма поверхности — пример римановой метрики в двух измерениях.

Обычный интеграл ∫∫_D f dA «живёт» на плоскости. Как интегрировать на изогнутой поверхности? Нужен объект, который корректно трансформируется при замене координат — дифференциальная форма.

n-форма ω на n-мерном многообразии M — это «плотность» для интегрирования: в координатах ω = f(x) dx¹ ∧ ... ∧ dxⁿ. При замене координат якобиан преобразования «встраивается» автоматически — интеграл инвариантен.

Многообразие M ориентируемо, если существует атлас с положительными якобианами функций перехода: det(∂x/∂y) > 0. Ориентация — выбор «согласованного» направления во всех картах.

На ориентируемом M выбирается «правый» базис в каждой точке. Это позволяет определить «положительный» элемент объёма и интеграл.

Из d² = 0 следует: точная форма (ω = dη) → замкнутая (dω = 0). Но обратное не всегда: замкнутая ↛ точная. Это «разрыв» связан с топологией многообразия — наличием «дырок».

Интуиция: на кольце ℝ² {0} форма ω = (x dy − y dx)/(x²+y²) замкнута (dω = 0), но ∮_{|r|=1} ω = 2π ≠ 0. Если бы ω = df, то ∮ ω = 0. Значит, ω не точна — «дырка» в нуле мешает.

Это глубокая идея: тополог. свойства пространства (дырки, «ручки») обнаруживаются аналитическими средствами (интегрирование форм).

Элементы H^k — классы эквивалентности форм с точностью до добавления точной формы. Если ω₁ и ω₂ отличаются на точную форму, они представляют один класс.

Definitions

Симметрии физических систем — вращения, сдвиги, калибровочные преобразования — образуют не просто группы, но непрерывные семейства преобразований. Эти объекты и называются группами Ли — гладкие многообразия с групповой структурой.

Ключевая идея Ли (1870-е): непрерывные симметрии описываются «инфинитезимальными» преобразованиями — элементами алгебры Ли. Вместо изучения всей группы (сложный нелинейный объект) изучаем её алгебру (линейное пространство!) и «восстанавливаем» группу через экспоненту.

Группа Ли — гладкое многообразие G с операциями: умножение (a,b) ↦ ab и обращение a ↦ a⁻¹, обе гладкие.

GL(n, ℝ) — невырожденные матрицы n×n, открытое подмножество M(n,ℝ) ≅ ℝ^{n²}, dim = n².

Анализ на ℝ или ℝⁿ использует метрику (расстояние) для определения непрерывности, открытых множеств, сходимости. Но многие важные пространства не имеют «разумной» метрики: пространство всех непрерывных функций на [0,1] с поточечной топологией, пространство мер, пространства в функциональном анализе.

Топология даёт минимальную структуру для определения непрерывности: достаточно знать, какие множества «открытые» — без понятия расстояния.

Определение: Пара (X, τ), где X — множество, τ ⊆ 2^X — семейство «открытых» множеств, удовлетворяющее: ∅, X ∈ τ; объединение любого семейства из τ ∈ τ; пересечение конечного семейства из τ ∈ τ.

Метрическая топология: U открыто ↔ для всех x ∈ U найдётся B(x, ε) ⊆ U. Стандартная топология ℝⁿ.

Связное пространство невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества. Формально: X связно, если X = U ∪ V, U ∩ V = ∅, U, V открыты → U = ∅ или V = ∅.

Интуиция: связное пространство «одним куском». Несвязное — «разорвано» на части.

Примеры: ℝ связно; удаление одной точки делает его несвязным: ℝ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Объединение (0,1) ∪ (2,3) несвязно (явное разбиение на два открытых). Иррациональные числа ℚ^c несвязны как подпространство ℝ. GL(2,ℝ) несвязна: матрицы с det > 0 и det < 0 образуют два разных компонента; SL...

Компонента связности: Максимальное связное подмножество. Для несвязного X: X = ⊔_α C_α. Число компонент β₀ — топологический инвариант.

Метрическое пространство (X, d) — множество X с функцией расстояния d: X × X → ℝ≥0, удовлетворяющей: d(x,y) = 0 ↔ x = y; d(x,y) = d(y,x); d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (неравенство треугольника).

p-адическая: |n|_p = p^{−vₚ(n)}, где vₚ — старшинство p в разложении n. Используется в теории чисел и криптографии.

(X, d) полно, если каждая последовательность Коши (d(xₘ, xₙ) → 0 при m,n → ∞) сходится к элементу X.

Примеры: ℝ полно (аксиома полноты). ℚ не полно: последовательность 3, 3.1, 3.14, 3.141, ... — Коши в ℚ, но сходится к π ∉ ℚ. C[a,b] с равномерной нормой полно (банахово пространство).

Возьмите тор (поверхность бублика). Наматайте нить вокруг «дырки» (вдоль одного из двух независимых циклов). Можно ли эту нить «стянуть» в точку, оставаясь на торе? Нет! А на сфере — любую петлю можно стянуть.

Фундаментальная группа π₁(X, x₀) формализует это наблюдение: она считает «количество способов намотать петлю», которые не сводятся друг к другу непрерывной деформацией.

Это топологический инвариант: гомеоморфные пространства имеют изоморфные фундаментальные группы. Разные π₁ → не гомеоморфны.

Петля в точке x₀ ∈ X: непрерывное отображение γ: [0,1] → X с γ(0) = γ(1) = x₀.

Возьмём спираль ℝ и «свернём» её в окружность S¹: p(t) = e^{2πit}. Каждой точке z ∈ S¹ соответствует бесконечно много прообразов в ℝ (листов): p⁻¹(z) = {n + arg(z)/2π : n ∈ ℤ}. Локально ℝ выглядит «как» S¹, но глобально ℝ «накрывает» S¹ бесконечными листами.

Непрерывное отображение p: X̃ → X — накрытие, если для каждой точки x ∈ X существует открытая окрестность U ∋ x (элементарная окрестность), такая, что p⁻¹(U) = ⊔_α Ũ_α (дизъюнктное объединение), и каждый Ũ_α гомеоморфен U через p.

X̃ — накрывающее пространство, X — основание. Слой (fiber) p⁻¹(x) — дискретное подмножество X̃. Число листов |p⁻¹(x)| = deg(p) — степень накрытия.

S¹ → S¹: pₙ(z) = zⁿ. n-листное накрытие. Слой: p⁻¹(1) = {e^{2πik/n} : k = 0,...,n−1}.

Оказывается, компактные замкнутые поверхности (2-многообразия без края) поддаются полной классификации: каждая из них гомеоморфна ровно одной поверхности из единственного «списка». Это одна из жемчужин алгебраической топологии — редкий случай, когда задача классификации решена полностью.

Почему это красиво? В размерности 3 и выше классификация принципиально невозможна (неразрешима в алгоритмическом смысле). Размерность 2 — исключительная!

Ориентируемые (rod = g ручек): S² (g=0, сфера), T² (g=1, тор), T²#T² (g=2, двойной тор), ..., #^g T² (g ручек, g ≥ 0).

Неориентируемые (k проективных плоскостей): ℝP² (k=1), K (k=2, бутылка Клейна), ℝP²#ℝP²#ℝP² (k=3), ..., #^k ℝP² (k ≥ 1).